「-3乗」が運命の分かれ目
ところで、「面積速度一定の法則」から近点と遠点での公転速度、公転角速度の比は近点距離と遠点距離の比のそれぞれ-1乗、-2乗に比例するが、この事実はちょうど中心力の大きさが距離の-3乗に比例する場合における上記の近点距離、遠点距離を軌道半径とする円軌道での公転速度、公転角速度の比と一致している。
したがって、距離の-3乗に比例する中心力による運動では物体が力の中心に近づいたときにそれによって起きる速度の増大による遠心力の増加がそれによる引力の増加に打ち勝つことができず、したがって力の中心からの距離（この距離のことを「動径」と呼ぶ）の減少に歯止めがきかず、その結果ついには力の中心に衝突、吸収されてしまう。その逆に物体が力の中心から遠ざかったときにはその逆の現象が起こるので力の中心からの距離の増大に歯止めがきかず、ついにはその引力を振り切って永久にその近くには戻ってこないことが予想できる。
このように、中心力の大きさが距離の-3乗に比例する場合にはその力の中心からの距離が周期的に変化する公転運動（ケプラー運動における楕円運動に相当する）をすることは不可能であることがわかる。（なお、中心力の大きさが距離の何乗に比例する場合でも円運動だけは可能である）
また、このもう一つの理由は、中心力の大きさが距離のn乗に比例する場合にはそのポテンシャルエネルギーの大きさは距離の（n+1）乗に比例する。そこでこの比例定数（距離の-2乗に比例する場合における万有重力定数に相当する）を、公転物体の質量をそれぞれ1にするとそのそのポテンシャルエネルギーは中心力を距離で積分すれば求めれるのでEp=1/（n+1）*r^（n+1）なる式であらわされる。一方、その距離に等しい軌道半径で円運動するのに必要な速度（この速度を「円軌道速度」と呼ぶ）はv=r^（n+1）となるのでそれに必要な運動エネルギーはEk=1/2r^（n+1）となる。したがって、n=-3のときにはEpとEkの和はゼロとなり、n<-3になるとその和は正となる。したがって、n<-3の場合にはその距離における脱出速度よりも円軌道速度のほうが大きくなるので、わずかでも円軌道から外れた場合にはその中心に呑み込まれるかまたはその中心から逃げ出して二度と戻ってこないのである。
このように中心力の大きさが距離の-3乗に比例する場合にはその中心力による円運動の全エネルギーおよび角運動量がその軌道の半径に関係なく一定であるという大きな特徴がある。さらにn<-3になると内側の軌道になるほど全エネルギー、角運動量がともに大きくなり、したがって周期運動が不可能となるのである。（先述のとおりn<-3の場合絶対周期と近点周期の比が虚数となることからもこの事実が明らかである）したがって、円運動以外の周期運動が許されるのはn>-3である場合のみであり、n=-3が周期運動へのボーダーラインとなるのである。
なお、n次元空間では万有重力、電磁気力などの物質間に働く力はその距離の(-n+1)乗（したがって、そのポテンシャルは(-n+2)乗）に比例することが証明されている。したがって、4次元以上の空間では惑星の運動や原子内での電子の運動なような万有重力、電磁気力などによる周期運動は存在し得ないのである。したがって、4次元以上の空間にはその外側に電子が回っている原子も恒星のまわりを公転する惑星も存在できないので当然のことながら生命も存在できない。以上のことから、われわれが住んでいる空間が３次元空間でなければならないである理由が証明できるのである。
もう一つのボーダーライン…「-1乗」
ところで、周期運動についてのボーダーラインにはn=-3以外にもう一つ存在する。このもう一つの「ボーダーライン」とはn=-1の場合である。すなわち、n>-1の場合にはr=∞のときのポテンシャルが無限大となり、一方n<-1の場合にはr=∞のときのポテンシャルはゼロとなるのである。この理由は、n>-1、n<-1の場合にはそれぞれ中心、無限遠におけるポテンシャルを基準にしているからである。なお、n=-1の場合にはそのポテンシャルは距離に対する対数関数で表される。この理由は、対数関数を微分すると分数関数になるからである。
したがって、n>-1の場合にはr=∞のときのポテンシャルが無限大となるのでそれによる運動は周期運動しか許されないのである。一方n<-1の場合にはその脱出速度（√（2/（-n-1））*r^（（n+1）/2）で表される）は有限（ここでは相対論的効果は無視する）となるので非周期運動が許される。これらをまとめると、n>-1、n<-3の場合にはそれぞれ周期運動、非周期運動のみが許され、-3<n<-1の場合に限り周期運動と非周期運動が両方とも許されるのである。
以上のことをまとめると次のようになる。
| 指数 | n>1 | n=1 | 1>n≧-1 | -1>n>-2 | n=-2 | -2>n>-3 | n≦-3 |
周期運動の可否 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
× |
非周期運動の可否 |
× |
× |
× |
○ |
○ |
○ |
○ |
絶対周期と近点周期の比 |
変化 |
2:1 |
変化 |
変化 |
1:1 |
変化 |
― |
（円軌道に近いとき） |
√(n+3):1 |
2:1 |
√(n+3):1 |
√(n+3):1 |
1:1 |
√(n+3):1 |
― |
（きわめて歪な軌道のとき） |
2:1 |
2:1 |
2:1 |
2:1 |
1:1 |
1:∞ |
― |
また、その中心のn乗に比例する中心力による運動では「エネルギー保存則」からその力の中心からの距離の（n+1）乗と公転速度の2乗との和（n<-1の場合には差となる）は常に一定となることが導き出せる。特に、-1>n>-3の場合にはその差が負ならば周期運動、正ならば非周期運動となるのである。