Ordered Pair

Ordered Pair and the Like

順序対とは？

テキストでは「順序対」＜x, y＞について説明をはぶいているので、ここで補足しておこう。xとyからなる集合はもちろん{x, y} と表記される。このとき、二つの要素の順序は区別できず、

{x, y} = {y, x}

である。では、このような集合論の枠内で、順序を区別したいときにはどうするか？

集合論では、順序対も一つの集合として扱う。ただし、前記のような単純に表記できる集合ではなく、次のように工夫する。

<x, y> = {{x}, {x, y}}

これは、左辺の順序対が、右辺の集合で定義されるという意味である。この定義により、順序がきちんと区別できることを確認しよう。xとyの順序を変えてみれば、

<x, y> = {{x}, {x, y}}

<y, x> = {{y}, {y, x}}

となるから、いずれも集合であり、なおかつ順序の違いは集合の違い（集合は、その要素がすべて等しいときにのみ同一となる）として保たれていることに注意しよう。順序を区別できる、という点だけ満たす目的なら、同様にして、順序のついた三つ組み、四つ組みなども順序対の定義を応用して定義できる（ただし、公理的集合論の中で厳密な定義として採用できるかどうかは、他の公理などとの整合性を確認しなければならない）。たとえば、

<x, y, z> = <x, <y, z>>